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第一章 多元函数微分法及其应用1

1.1 多元函数的基本概念1

1.1.1 区域1

1.1.2 多元函数的概念2

1.1.3 多元函数的极限3

1.1.4 多元函数的连续性4

习题1.15

1.2 偏导数6

1.2.1 偏导数的定义及其几何意义6

1.2.2 高阶偏导数9

习题1.210

1.3 全微分及其应用11

1.3.1 全微分的定义11

1.3.2 全微分在近似计算中的应用13

习题1.314

1.4 多元复合函数的求导法则15

习题1.418

1.5 隐函数的求导公式19

1.5.1 一个方程的情形19

1.5.2 方程组的情形20

习题1.521

1.6 微分法在几何上的应用22

1.6.1 空间曲线的切线与法平面22

1.6.2 曲面的切平面与法线25

习题1.626

1.7 方向导数与梯度27

1.7.1 方向导数27

1.7.2 梯度29

1.7.3 等值线和等量面31

1.7.4 数量场与向量场32

习题1.733

1.8 多元函数的极值及其求法34

1.8.1 多元函数的极值及最大值、最小值34

1.8.2 条件极值，拉格朗日乘数法36

习题1.837

1.9 MATLAB符号求偏导数和全微分37

习题1.940

1.10 计算梯度和方向导数的MATLAB程序及其实验41

1.10.1 gradient函数数值计算梯度方向导数41

习题1.1045

1.11 计算雅克比矩阵及其行列式的MATLAB方法45

1.11.1 符号计算雅克比矩阵及其行列式46

1.11.2 数值计算雅克比行列式及其MATLAB程序49

习题1.1150

1.12 空间曲线（曲面）切线（切平面）和法平面（法线）的MATLAB实现51

1.12.1 surfnorm函数求曲面在每个节点的法向量51

1.12.2 空间曲线的切线和法平面的MATLAB实现52

1.12.3 空间曲面的切平面和法线的MATLAB实现54

1.12.4 相交曲面的交线的切线和法平面的MATLAB实现56

习题1.1258

复习题一58

第二章 重积分61

2.1 二重积分的概念与性质61

2.1.1 二重积分的概念61

2.1.2 二重积分的性质62

习题2.164

2.2 二重积分的计算法64

2.2.1 利用直角坐标系计算二重积分64

习题2.2 （1）69

2.2.2 利用极坐标计算二重积分70

习题2.2 （2）73

2.3 二重积分的应用74

2.3.1 曲面的面积74

2.3.2 平面薄片的重心75

2.3.3 平面薄片的的转动惯量76

2.3.4 平面薄片对质点的引力76

习题2.377

2.4 三重积分的概念及其计算方法77

习题2.480

2.5 三重积分的主要换元方法81

2.5.1 利用柱面坐标计算三重积分81

2.5.2 利用球面坐标计算三重积分82

习题2.583

2.6 用MATLAB符号计算多重积分84

2.6.1 二重积分的符号计算及其MATLAB程序84

2.6.2 三重积分的符号计算及其MATLAB程序86

习题2.688

复习题二89

第三章 曲线积分与曲面积分91

3.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分91

3.1.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分概念91

3.1.2 第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算92

习题3.196

3.2 第二类曲线积分98

3.2.1 第二类曲线积分的概念98

3.2.2 第二类曲线积分的计算100

习题3.2103

3.3 格林公式及其应用104

3.3.1 格林公式104

3.3.2 平面曲线积分与路径无关性107

3.3.3 二元函数的全微分求积108

习题3.3110

3.4 第二类曲面积分111

3.4.1 第二类曲面积分的概念111

3.4.2 第二类曲面积分的计算114

习题3.4116

3.5 高斯公式和斯托克斯公式117

习题3.5120

3.6 曲线积分和曲面积分的MATLAB实现121

3.6.1 第一类曲线积分的MATLAB实现121

3.6.2 第一类曲面积分的MATLAB实现122

3.6.3 第二类曲线积分的MATLAB实现124

3.6.4 第二类曲面积分的MATLAB实现125

习题3.6126

复习题三128

第四章 无穷级数130

4.1 常数项级数的概念和性质130

4.1.1 常数项级数的概念130

4.1.2 收敛级数的基本性质134

习题4.1136

4.2 正项级数及其审敛法138

4.2.1 正项级数的概念和充要条件138

4.2.2 正项级数比较审敛法139

4.2.3 正项级数的比值审敛法141

4.2.4 正项级数根值审敛法143

4.2.5 正项级数积分审敛法144

4.2.6 正项级数极限审敛法145

习题4.2145

4.3 任意项级数及其审敛法146

4.3.1 交错级数及其审敛法146

4.3.2 绝对收敛与条件收敛147

习题4.3151

4.4 幂级数及其和函数151

4.4.1 函数项级数的概念151

4.4.2 幂级数及其收敛性153

4.4.3 幂级数的运算159

习题4.4162

4.5 函数展开成幂级数163

4.5.1 泰勒公式163

4.5.2 几个常用函数的麦克劳林公式166

4.5.3 泰勒级数168

4.5.4 函数展开成幂级数169

4.5.5 函数的幂级数展开式的应用175

4.5.6 欧拉公式176

习题4.5178

4.6 傅里叶级数179

4.6.1 三角级数、三角函数系的正交性179

4.6.2 周期函数展开成傅里叶级数180

4.6.3 有限区间上函数展开成傅里叶级数185

习题4.6189

4.7 求级数的MATLAB实现190

习题4.7193

4.8 求泰勒级数的MATLAB实现194

4.8.1 求一元函数的泰勒级数的MATLAB实现194

4.8.2 求多元函数的泰勒级数的MATLAB实现196

习题4.8196

4.9 求傅里叶级数的MATLAB实现197

习题4.9199

复习题四200

第五章 常微分方程201

5.1 微分方程的一般概念201

习题5.1203

5.2 可分离变量的一阶方程203

习题5.2205

5.3 齐次方程206

习题5.3207

5.4 线性微分方程208

5.4.1 一阶线性微分方程208

5.4.2 伯努利方程211

习题5.4213

5.5 全微分方程213

习题5.5215

5.6 可降阶的高阶微分方程216

5.6.1 形如y（n） =f（x）的微分方程216

5.6.2 不显含y的方程216

5.6.3 不显含自变量x的微分方程217

习题5.6218

5.7 线性微分方程解的性质与结构218

习题5.7220

5.8 二阶常系数齐次线性微分方程221

习题5.8223

5.9 二阶常系数非齐次线性微分方程224

5.9.1 f（x）=eλxpm （x）的情形224

5.9.2 f（x）=eλx［P？（x） cosωx+Qn （x） sinωx］的情形225

习题5.9226

5.10 欧拉方程226

习题5.10228

5.11 微分方程的幂级数解法228

习题5.11230

5.12 求常微分方程（组）符号解的MATLAB实现230

5.12.1 求常微分方程（组）的通解的MATLAB 实现230

5.12.2 求常微分方程（组）的特解的MATLAB实现232

5.12.3 求线性常微分方程组解的MATLAB实现235

习题5.12236

复习题五237

习题答案238

参考文献257

附录Ⅰ 2014—2011年硕士研究生入学考试数学（一）真题和参考答案259

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案259

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案270

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案278

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案289

附录Ⅱ 2014—2011年硕士研究生入学考试数学（二）真题和参考答案298

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案298

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案307

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案315

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案325

附录Ⅲ 2014—2011年硕士研究生入学考试数学（三）真题和参考答案334

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案334

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案344

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案353

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案363