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第一章　经典解法1

1　二阶线性偏微分方程及其定解问题1

1.1　典型的二阶线性偏微分方程1

1.2　定解问题3

1.3　解的空间与定解问题的适定性5

2　分离变量法6

2.1　第一初边值问题6

2.2　第二初边值问题17

2.3　第三初边值问题21

2.4 Poisson方程的边值问题26

3　行波法30

3.1　齐次波动方程Cauchy问题30

3.2　非齐次波动方程Cauchy问题34

4　其他解法39

4.1　幂级数解法39

4.2　相似解解法43

习题46

第二章　Fourier变换方法与广义函数初步51

1　基本空间51

1.1　连续函数空间51

1.2　E（R），D（R）和y（R）空间56

2　速降函数空间上的Fourier变换方法58

2.1　y（R）上Fourier变换的定义与性质58

2.2　在速降函数空间中求解热传导方程64

2.3　在缓增函数空间中求解热传导方程65

3 Lp空间与磨光算子68

3.1 Lp空间68

3.2　磨光算子及其基本性质70

3.3 Lp函数的光滑逼近73

3.4　变分学基本引理75

4　广义函数77

4.1 广义函数的定义77

4.2 广义函数的判定78

4.3 广义函数的运算80

4.4　广义函数的极限81

4.5 广义函数的磨光81

4.6　局部可积函数的广义导数及其基本性质83

4.7　广义函数的广义导数88

5　广义函数空间上的Fourier变换方法91

5.1　y′（R）上Fourier变换的定义与性质91

5.2 y′（R）上的Fourier变换方法95

6　y（RN）与y′（RN）上的Fourier变换104

6.1　y（RN）上Fourier变换的定义与性质104

6.2　y′（RN）上Fourier变换的定义与性质106

6.3　求解高维偏微分方程定解问题的Fourier变换方法107

习题110

第三章　L2理论112

1 H？lder空间和H1空间112

1.1 H？lder空间112

1.2 H1空间115

1.3　一维H1空间的性质117

2 Poisson方程的L2理论121

2.1　弱解的定义121

2.2　与弱解相应的泛函的极值元123

2.3　泛函极值元的存在性124

2.4　弱解的存在唯一性126

2.5　弱解的正则性127

3 Laplace方程的基本解和Green函数及其应用133

3.1 Laplace方程的基本解134

3.2 Green函数及其基本性质137

3.3 Green函数的存在性139

3.4 Green函数法140

4　热传导方程的L2理论和基本解理论144

4.1　热传导方程的L2理论144

4.2　热传导方程的基本解153

习题160

第四章　古典解的性质162

1 Poisson方程162

1.1　弱极值原理162

1.2　强极值原理167

1.3　能量估计170

2　热传导方程172

2.1　极值原理172

2.2　能量估计178

3　弦振动方程179

3.1　有界区间上的初边值问题180

3.2　实数轴上的初值问题183

3.3 半实数轴上的初边值问题186

习题187

参考文献192