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第一章 函数的极限1

第一节 初等函数1

一、函数的概念1

二、基本初等函数2

三、函数的复合2

四、初等函数3

五、双曲函数4

习题1-15

第二节 数学模型6

一、数学建模的步骤6

二、例（双层玻璃窗的保暖作用）6

习题1-28

第三节 函数的极限9

一、函数的极限9

二、极限的性质12

习题1-312

第四节 极限方法13

一、无穷大与无穷小13

二、极限运算法则14

三、两个重要极限15

习题1-418

第五节 无穷小的比较19

一、无穷小的比较19

二、等价无穷小代换21

三、极限应用一例——正矢法22

习题1-523

第六节 函数的连续性23

一、连续函数的概念23

二、函数的间断点25

三、初等函数的连续性25

四、闭区间上连续函数的性质26

习题1-627

第一章复习题28

第二章 导数与微分30

第一节 导数的概念30

一、引例30

二、导数的定义31

三、求导数举例32

四、导数的实际意义33

五、可导与连续的关系35

习题2-135

第二节 求导法则36

一、函数的和、差、积、商的求导法则37

二、反函数的求导法则38

三、复合函数的求导法则39

习题2-241

第三节 隐函数的导数 参数方程所确定的函数的导数42

一、隐函数及其求导42

二、对数求导法42

三、参数方程所确定的函数的导数43

习题2-344

第四节 高阶导数44

一、高阶导数的概念44

二、高阶导数的求法45

习题2-447

第五节 微分及其应用47

一、微分的概念47

二、微分的几何意义48

三、微分公式与微分法则49

四、微分在近似计算中的应用50

五、微分在误差估计中的应用51

习题2-552

第二章复习题53

第三章 导数的应用55

第一节 微分中值定理55

一、罗尔中值定理55

二、拉格朗日中值定理55

三、柯西中值定理57

习题3-157

第二节 泰勒公式58

一、泰勒中值定理58

二、麦克劳林公式60

习题3-261

第三节 洛必达法则62

一、“0/0”及“∞/∞”型未定式的极限62

二、其他类型的未定式63

三、应用洛必达法则时应注意的几个问题64

习题3-365

第四节 函数的单调性与极值66

一、函数的单调性66

二、函数的极值67

三、最大值、最小值69

习题3-470

第五节 一元函数图形的描绘72

一、曲线的凹凸与拐点72

二、渐近线73

三、函数图形的描绘方法74

习题3-576

第六节 曲率77

一、弧微分公式77

二、曲率计算公式77

三、曲率圆与曲率半径79

习题3-680

第七节 方程的近似解法81

习题3-783

第三章复习题83

第四章 不定积分86

第一节 不定积分的概念与性质86

一、原函数与不定积分的概念86

二、不定积分的性质88

三、不定积分的几何意义88

四、基本积分表89

习题4-190

第二节 换元积分法91

一、第一类换元法（凑微分法）91

二、第二类换元法94

习题4-297

第三节 分部积分法98

习题4-3101

第四章复习题101

第五章 定积分及其应用103

第一节 定积分的概念103

一、引例103

二、定积分的定义105

三、定积分的几何意义106

习题5-1107

第二节 定积分的性质108

习题5-2110

第三节 微积分基本公式110

一、积分上限函数及其导数111

二、微积分基本公式112

习题5-3114

第四节 定积分的计算方法114

一、换元积分法114

二、分部积分法117

三、近似计算法119

习题5-4122

第五节 定积分在几何方面的应用123

一、定积分的微元法123

二、平面图形的面积124

三、体积127

四、平面曲线的弧长130

习题5-5132

第六节 定积分在物理与经济方面的应用133

一、功133

二、液体的压力134

三、拉（压）杆的变形135

四、经济方面的应用136

习题5-6137

第七节 反常积分138

一、无限区间上的反常积分138

二、无界函数的反常积分140

习题5-7142

第五章复习题143

第六章 常微分方程147

第一节 微分方程的基本概念147

一、微分方程的基本概念147

二、微分方程解的基本概念148

习题6-1149

第二节 一阶微分方程149

一、最简单的一阶微分方程的解法149

二、可分离变量的微分方程149

三、齐次型微分方程150

四、一阶线性微分方程151

五、一阶微分方程的应用举例154

习题6-2157

第三节 可降价的二阶微分方程157

一、y″=f（x）型的微分方程157

二、y″=f（x,y′）型的微分方程158

三、y″=f（y,y′）型的微分方程158

习题6-3161

第四节 二阶线性微分方程161

一、通解形式161

二、二阶线性常系数齐次微分方程的解法162

三、二阶线性常系数非齐次微分方程的解法164

四、二阶线性常系数微分方程的应用举例167

习题6-4169

第六章复习题170

第七章 MATLAB系统简介172

第一节 基本知识172

一、MATLAB的安装与启动（Windows操作平台）172

二、命令窗口172

三、MATLAB的程序编辑器172

四、命令行编辑入门173

五、退出与关机175

第二节 初等数学运算与作图176

一、简单计算176

二、函数作图176

三、方程求解178

实验7-1179

第三节 一元函数的微积分计算179

一、极限运算180

二、求导数180

三、积分运算180

四、求泰勒多项式181

五、求函数极值182

实验7-2183

第四节 微分方程求解184

一、微分方程解析解184

二、微分方程数值解185

实验7-3187

第八章 向量代数与空间解析几何188

第一节 空间直角坐标系188

一、空间直角坐标系188

二、空间两点间的距离189

习题8-1189

第二节 空间向量190

一、空间向量的概念190

二、向量的线性运算190

三、向量的坐标表示191

四、两向量的数量积193

五、两向量的向量积194

习题8-2195

第三节 空间平面与直线的方程195

一、平面的方程195

二、直线的方程197

习题8-3199

第四节 空间曲面与空间曲线199

一、曲面方程的概念199

二、球面的方程200

三、柱面的方程200

四、旋转曲面的方程201

五、几种常见二次曲面202

六、空间曲线203

习题8-4204

第八章复习题205

第九章 无穷级数206

第一节 常数项级数206

一、无穷级数的基本概念206

二、无穷级数的基本性质207

三、级数收敛的必要条件208

习题9-1209

第二节 正项级数及其审敛法210

一、比较审敛法210

二、比值审敛法212

习题9-2213

第三节 任意项级数214

一、交错级数214

二、绝对收敛与条件收敛216

习题9-3217

第四节 幂级数217

一、幂级数的收敛性218

二、幂级数的性质220

习题9-4221

第五节 函数的幂级数展开222

一、麦克劳林级数222

二、将函数展开成幂级数的两种方法223

三、椭圆周长的近似公式225

习题9-5226

第六节 傅里叶（Fourier）级数227

一、周期为2π的函数的傅里叶级数227

二、周期为2l的函数的傅里叶级数231

三、定义在有限区间上的函数的展开232

习题9-6235

第九章复习题235

第十章 多元函数微分学238

第一节 多元函数的基本概念238

一、多元函数概念238

二、二元函数的极限与连续241

习题10-1243

第二节 偏导数243

一、偏导数的概念243

二、高阶偏导数245

习题10-2247

第三节 全微分与方向导数247

一、全微分的定义247

二、全微分在近似计算中的应用249

三、方向导数250

习题10-3251

第四节 复合函数与隐函数求导法251

一、复合函数求导法251

二、隐函数求导法254

习题10-4255

第五节 偏导数的应用256

一、偏导数的几何应用256

二、多元函数的极值258

习题10-5262

第十章复习题262

第十一章 多元函数的积分学264

第一节 二重积分的概念264

习题11-1266

第二节 二重积分的计算267

一、直角坐标系下二重积分的计算267

二、极坐标系下二重积分的计算269

习题11-2271

第三节 三重积分、曲线积分、曲面积分简介272

一、三重积分272

二、对弧长的曲线积分275

三、对面积的曲面积分276

习题11-3277

第四节 二重积分在工程力学中的应用278

一、重心与形心278

二、平面图形的几何性质281

三、转动惯量283

习题11-4284

第五节 MATLAB系统在多元微积分学中的应用285

一、求偏导数285

二、求重积分286

三、绘制三维图形286

实验11-1287

第六节 山区公路选线模型288

一、问题的提出288

二、模型假设289

三、绘三维图——看看该山区的立体形象289

四、画等高线图——为了选择桥头和隧道候选点的平面位置290

五、画横断面图——为了确定隧道口的高程290

六、有待进一步研究的问题291

第十一章复习题291

第十二章 拉普拉斯变换293

第一节 拉氏变换的概念及常见的拉氏变换293

习题12-1295

第二节 拉氏变换的性质296

习题12-2300

第三节 拉普拉斯逆变换300

习题12-3302

第四节 拉氏变换应用举例302

习题12-4304

第十二章复习题304

附录Ⅰ 常用函数的拉氏变换表306

附录Ⅱ 几种常用的曲线307

附录Ⅲ 初等数学公式310

附录Ⅳ 希腊字母表312

习题参考答案313

参考文献334