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前言1

第一章 绪论1

1 微分方程1

2 数值求解微分方程的意义3

3 数值求解方法概述5

第二章 常微分方程的初值问题8

1 常微分方程的若干理论8

2 单步方法10

2.1 从Euler方法谈起10

2.2 高阶单步方法的构造23

2.3 高阶单步方法的性态分析32

2.4 高阶单步方法的计算38

3.1 Adams方法和Gear方法40

3 线性多步方法40

3.2 一般线性多步方法的构造45

3.3 线性多步方法的性态分析49

3.4 线性多步方法的计算67

4 微分方程组和刚性问题76

4.1 一阶常微分方程组76

4.2 刚性问题81

4.3 刚性问题的数值方法84

习题88

计算实习92

第三章 差分法解边值问题95

1 解两点边值问题的差分方法95

1.1 差分格式的导出95

1.2 差分解的性态研究99

1.3 解差分方程组的追赶法103

2.1 矩形网格105

2 解椭圆边值问题的差分方法105

2.2 边界条件处理110

2.3 三角形网格114

3 椭圆差分方程的性态研究118

3.1 极值原理和解的存在唯一性118

3.2 差分解的收敛性和误差估计119

3.3 五点差分格式的敛速估计123

习题125

计算实习127

第四章 外推法130

1 外推法的引入130

1.1 用外推法进行误差估计130

1.2 一个简单的例子133

2 展开式定理137

3.1 多项式外推142

3 加速收敛142

3.2 偶次幂余项的外推148

4 外推方法的应用152

4.1 常微分方程初值问题--Euler方法152

4.2 常微分方程初值问题--中心差分格式158

4.3 有理外推法的执行163

4.4 常微分方程两点边值问题165

习题167

计算实习169

第五章 发展方程的差分方法171

1 几个典型的发展方程171

2 扩散方程的差分化178

2.1 扩散方程的离散178

2.2 计算格式示例183

2.3 第一类混合问题差分方程的真解188

3.1 稳定性与收敛性196

3 稳定性分析196

3.2 Lax等价原理198

3.3 稳定性分析方法之一--直接法202

3.4 稳定性分析方法之二--分离变量法208

3.5 稳定性分析方法之三--最大模方法213

3.6 稳定性分析方法之四--传播因子法218

3.7 算例分析224

3.8 稳定性的进一步讨论233

4 双曲型方程的差分化和稳定性240

4.1 对流方程的离散240

4.2 波动方程的离散246

4.3 稳定性分析250

4.4 线性双曲型方程组的差分化255

5.1 高维发展方程的差分化264

5 高维问题264

5.2 交替方向迭代法269

习题274

计算实习276

第六章 变分及泛函的极值问题279

1 变分问题279

1.1 从两点边值问题谈起279

1.2 泛函和变分284

1.3 两点边值问题的变分形式287

1.4 椭圆型方程的变分形式291

2 泛函的极值问题300

2.1 与两点边值问题等价的泛函极值问题300

2.2 与椭圆型方程相应的泛函极值问题306

2.3 极值问题与变分问题之间的联系309

3 变分和泛函极值问题的近似求解313

3.1 变分和泛函极值问题的进一步讨论313

3.2 Ritz法318

3.3 Galerkin法325

习题327

计算实习329

第七章 椭圆型方程的有限元解法332

1 解两点边值问题的有限元方法332

1.1 基于变分问题的有限元方法332

1.2 基于泛函极值问题的有限元方法340

1.3 有限元方法解两点边值问题的误差估计348

1.4 高次形状函数的有限元方程360

2 多角区域上椭圆型方程的有限元方法364

2.1 有限元方法解椭圆型方程的过程364

2.2 有限元方法解椭圆型方程的误差估计373

2.3 面积坐标383

2.4 高次形状函数的有限元方程389

3.1 光滑区域上的有限元方法394

3 曲边三角形和等参元394

3.2 等参元403

4 有限元方法的超收敛性质简介411

习题416

计算实习417

第八章 多重网格法和区域分裂法简介420

1 多重网格法简介420

1.1 经典迭代算法的缺陷420

1.2 多重网格法的基本思想424

1.3 多重网格法的格式427

2 区域分裂法简介432

2.1 区域分裂法的思想432

2.2 加性Schwarz方法436

2.3 条件数估计441

附录 差分方程简介447

习题457